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原子模型的發展及量子力學的建立 第1 頁，共8 頁 林元興（安慶師范學院物理與電氣工程學院 安徽 安慶 246011 ） 指導教師：張青林 ：自從湯姆遜通過陰極射線發現電子以后，人們逐步開始研究原子的內部結構及運動。通過不斷的改進、修正，建立了一個相對完整的原子結構模型。本文結合物理學史料，從原子模型入手，扼要地對不同時期各種原子模型作以下介紹和表述，目的在于更好地了解近代物理尤其是量子力學思想及其發展過程，加深對原子模型的微觀認識。 ：原子模型，幾率定律，雙重解理論，孤子（Soliton）模型 1. 任何物質都是由原子構成，原子只是物質基本結構的一個層次，物質的這種原子觀只是在十六世紀之后才被人們普遍接受。1806 年，法國普魯斯特（J.L.Proust）發現化合物分子的定組成定律；1807 年，英國道爾頓（J.Dalton）發現倍比定律，并提出原子論；1811 年，意大利啊伏加德羅（A.Avogadro）提出同體積氣體在同溫同壓下含有同數目之分子的假說；1815 年，英國普勞托（Prout）根據許多元素的原子量的都接近于氫原子量的整數倍而提出所有的元素都是由氫構成的假設；1826 年，英國布朗（R.Brown）觀察到液體中的懸浮微粒作無規則的起伏運動；1833 年，英國法拉第（M.Faraday）提出電解定律，并把化學親和力歸為電力；1869 年，俄國門捷列夫（D.Mendeleev）提出元素周期律；1881 年，美國斯通尼（G.J.Stoney）提出“電子”概念，并用阿伏加德羅常數Ｎa 和法拉第常數F 推出這一基本電荷的近似值為e=F/Na；1885 年，瑞士巴爾未（J.J.Balmer）提出氫原子光譜的巴爾未線系；1889 年，瑞士里德泊（J.R.Rydberg）提出里德伯方程? = 1 ? =RH( 2 1 n - 2 1 ' n ),R H =109677.58cm -1 為里德伯常數；1895 年，德國倫琴（W.K.Rontgen）發現x 射線；1896 年，法國貝克勒爾(A.H.Becquerel)發現了鈾的放射性；1897 年，法國居里夫婦（P.&M.Curie）發現了放射性元素釙和鐳；1896 年，荷蘭塞曼（P.Zeeman）發現處于磁場中的原子光譜分裂的所謂塞曼效應；1897 年，英國湯姆遜（J.J.Thomson）確認電子的存在；1897 年，德國的盧瑟福（M.Rutherford）發現了射線，1900 年又發現了γ 射線，到此 ，拉開了近代物理的序幕。 2. Thomson 自湯姆遜發現電子以來，以原子中正、負電荷提出了許多見解，歷經1898 年、1903 年到1907 年，湯姆遜通過不斷的完善而提出原子的葡萄干布丁模型（即西瓜模型）；原子的正電荷均勻分布在整個半徑為 10 -10 米的原子球體（湯姆遜球）內，而電子則象面包中的葡萄干（或象西瓜中的瓜子）那樣嵌在各處，為了解釋元素周期律，湯姆遜還假設：電子分布在一個個環上，第一個環上只可放5 個電子，第二只環上可放10 個電子；假如一個原子有70 個電子，那么必須有6 只同心環，湯姆遜原子模型雖然很快被以后的試驗所否定，但它所包含的“同心環”、“環上只能安置有限個電子”的概念，卻是十分寶貴的。 原子模型的發展及量子力學的建立 第2 頁，共8 頁 3 Rutherford 1903 年，德國林納德（P.Lenard）在研究陰極射線物質吸收的實驗中得出，“原子是十分空虛的”，在此實驗基礎上，日本長岡半太郎（Nantaro Nagaka）于1904 年提出原子的核式行星模型，認為原子內的正電荷集中于中心，電子繞中心運動，但他沒能繼續深入下去，直到1909 年，盧瑟福的學生蓋革（H.Geiger）和馬斯登（E.Marsden）在用粒子轟擊原子的實驗中，發現粒子在轟擊原子時有大約八千分之一的幾率被反射回來，通過這一實驗事實，又經過嚴謹的理論推導之后，盧瑟福于1911 年提出了（但未被人們重視）原子的核式行星模型；正電荷被限制在一個半徑約為10 -14 米的原子核球體內，電子在與湯姆遜球有統一數量級的空間內繞核旋轉。 盧瑟福的核式行星模型，不僅大膽肯定了高密度原子核的存在（首次將原子分為核外和核內兩個層次），而且由此模型導出著名的盧瑟福散射公式為研究物質結構和材料分析提出了一種有效的方法，同時對近代物理特別是原子物理的發展起了重要的作用，但盧瑟福模型也存在著嚴重不足，那就是不能解釋原子的穩定性，同一性和再生性。 4 Bohr Bohr-Sommerfeld 4.1 Bohr 1900 年4 月，英國開爾文（W.T.Kelvin）指出：“物理學晴朗太空的遠處，還有兩朵令人不安的烏云”，這“兩朵烏云”，一個與黑體輻射有關，另一個與邁克耳遜—莫雷（A.A.Aichelson-E.W.Morley）實驗有關，而黑體輻射和邁克耳遜—莫雷實驗則正是近代物理的兩個革命性的原理，那就是量子論和相對論。1900 年 10 月，德國普克朗（M.Planck）用能量的量子學說E=nh? ,h 為普克朗常數, 3 3 8 ( ) 1 kT h d c e ?? ? ?? ? ??成功地解釋了黑體輻射，時隔五年的1905 年，愛因斯坦（A.Einstein）發展了普克朗的量子學說，并用光的量子學說成功地解釋了光電效應（1923 年康普頓（A.H.Compton）效應進一步證明了光量子性），同年又創立了狹義相對論。 然而，自1885 年巴爾未提出氫原子光譜線系公式和1889 年里德伯提出起原子光譜線系公式以來，許多科學家都不斷致力于原子光譜的研究。1906 年賴曼（T.Lyman）在紫外區域找到了一組氫原子光譜的賴曼線系，1908 年帕邢（F.Paschen）又在紅外區域找 到了一組氫原子光譜的帕邢線系。為了解釋氫原子光譜的實驗事實，1913 年丹麥玻爾（N.Bohr）綜合普朗克和愛因斯坦的量子學說和盧瑟福的原子模型，提出了行星式的圓形軌道模型：①.電子以原子核為中心沿具有一定半徑（r n = 2 2 h me n 2 ,?= 2 h ? ,n=1.2…）或一定能量（En=- 4 2 2 me 2 1 n ）分立的圓形軌道繞轉（在一定軌道上繞轉的電子被稱為穩定狀態，簡稱定態，其中能量最低的態稱為基態，其余的稱為激發態）；②.電子從某一定態軌道躍到另一定態軌道時放出或吸收的輻射能為hν=E n -E m 電子在定態軌道運動時不會發生電磁輻射；③.電子運動的角動量是量子化的，L=n?,n 稱為主量子數,?= 2 h ?稱為狄拉克的普朗克常數。 原子模型的發展及量子力學的建立 第3 頁，共8 頁 Bohr 模型的提出，不僅成功地解釋了氫原子和類氫原子光譜現象，而且還導出了氫原子和類氫原子體系具有量子性的線度和能量：氫原子的最小線度（稱為玻爾半徑）a 0 =r 1 = 2 8 2 0.529 10 m me ?? ? ，最低能量（基態能量）E 1 =- 4 2 13.6 2 me ev ? ? ；類氫原子的電子軌道半徑為r n =a 0 2 n Z ，定態能量為En=-13.6 2 2 Z n ，Z 為原子序數,光譜項T(n)= 2 2 E RZ hc n ? ? ，同時更為重要的是肯定了量子論的正確性和必要性（玻爾理論正確性的驗證實驗為：光譜實驗，弗蘭克（J.Franck）—赫茲（G.Hretz）實驗）。 4.2 Bohr-Sommerfeld 在玻爾圓形軌道理論發表后的不久，索末菲（A.Sommerfeld）便于1916 年對玻爾理論作了兩項修正：其一是把玻爾的一維的圓形軌道推廣為二維的橢圓軌道；其二是引入為相對論修正。從而得到了更為普遍的原子的所謂Bohr-Sommerfeld 模型，亦即橢圓軌道模型。索末菲認為電子繞原子核在某一平面上作橢圓軌道運動，這是一個二維運動，描述橢圓運動中電子的位置，可用平面極坐標Φ 和r，而與這兩個坐標對應的廣義動量是角動量L 和徑向動量P。它們能滿足類似于玻爾圓形軌道的量子化條件為∮LdΦ=n Φ h 和∮ Pdr=n r h,n Φ =1.2.…n r =0.1…式中的n Φ 和n r 分別叫做角量子數和徑量子數，它們的總和為主量子數n，即 n=n Φ +n r 。根據簡單的數學推導，可得橢圓軌道的長、短半軸a 和b 的關系為 a b = n n ?，而a=n 2 1 a Z ，又得能量的表述式為En=- 2 4 2 2 2 Z e n ? ,μ= mM m M ?為原子核與電子的折合質量，按照相對論原理，索末菲考慮了橢圓軌道運動電子的相對論效應，經繁復的數學運算，得到體系的能量表述式為 E=- 1 2 m(ca) 2 2 3 2 3 1 ( )( ) 4 Z Za n n n n ?? ?? ?? ?? ?? ?，由此得光譜項的表述式為T(n,n ф )=- 2 4 2 2 4 3 ( ) 4 E RZ RZ a n hc n n n ?? ? ? ，兩式中的a= 2 1 137 e c ? 稱為精細結構常數。 Bohr-Sommerfeld 模型比Bohr 模型更加完善（提出了二維量子數（n,n ф ）），該模型所確立的橢圓軌道理論不僅能完滿解釋一些Bohr 模型所不能恰當解釋的問題，而且也能解釋氫原子和類氫離子的能級分裂（一譜多線），但卻不能令人信服地解釋堿金屬原子的非單線光譜，更不能解釋一般原子的精細結構原因，因而 Bohr-Sommerfeld 模型理論仍有缺陷。巴爾末線系中的七條H a 譜線和鈉的黃色D 雙線等著名實驗表明：造成能級分裂的原因，除了電子與核子間具有靜電相互作用外，還必定存在磁相互作用。正是由于存在磁相互作用，才必須在Bohr-Sommerfeld 理論中兩個量子數的基礎，再需用另一量子數來描述。正如主量子數決定體系的能量、角量子數決定軌道的形狀那樣，它們的量子化條件具有∮P i d qi =n i ? 形式。根據數學推導，所需的新量子數應是反映軌道平面與磁場方向間的角度有關的所謂“原子在磁場中的取向是量子化的（即空間量子化）”，它同樣具有形式L z =m? cos m n ?? ? ，若以l 取代n ф 之后，l 的取值即為0，1，2，……。如此，原子模型的發展及量子力學的建立 第4 頁，共8 頁 對于每一固定的l,m有2l+1 個取值.l 仍稱為角量子數，而m稱為磁量子數。這樣，描述原子中電子狀態的量子數就有三個（n,l,m）。 1921 年，史特恩（O.Stern）和蓋拉赫（W.Gerlach）等進行的實驗結果表明：氫原子在磁場中只有兩個取向。這就有力地證明了原子在磁場中的取向是量子化的。然而史特恩-蓋拉赫實驗能出現偶數分裂的事實啟示：要使2l+1 為偶數，只有l 取半整數，而泡利（W.Pauli）仔細分析了原子光譜和強磁場中的塞曼效應后曾建議：為了完整描述電子，除了已有的三個量子數外，還要有第四個量子數，而這個量子數應該是雙值的，在經典上不可描述的。同年他又提出了著名的泡利不相容原理：原子中的每一個狀態只能容納一個電子。然而，此時還不到25 歲的兩位荷蘭學生烏龍貝克（G.E.Uhlenbeck）和古茲米特（S.Goudsmit）則根據一系列實驗事實，大膽提出了電子自旋假設：①電子不是點電荷，它除了軌道角動量外，還有固有的自旋角動量S= 1 ( 1) , , 2 s s s ? ? 而自旋角動量在z 方向的分量只有兩個L s,z =m s ?,m s = 1 2 ? 稱為自旋角量子數。 ②電子的磁矩為一個玻爾磁子，即為經典數值的兩倍，且磁矩的方向與自旋方向相反， μ s =- 3 3 , 2 B s e mc ? ? ? ? 為玻爾磁子，他們的假設很快得到了各種實驗的支持。 為了更準確地反映原子中電子的軌道角動量和自旋角動量，朗德（A.Lande）引入g 因子，使得磁矩 μ j = ( 1) , B j j ? ? ? 分量μ i,x =-m j g j μ B ，當j=l 時，g l =g i =l,m i =m l ;當j=s 時,g j =g l =2,m l =m s 。 [9] 至此，描述原子中電子運動狀態的量子數就增加到四個（n,l,m l ,m s ）或（n,l,j,m），而泡利不相容原理用四個量子數描述則可敘述為：在一個原子中不可能有兩個或者兩個以上的電子具有完全相同的四個量子數（n,l,m l ,m s ）。所以，就此為止的舊量子語言所描述的原子模型已趨完善，不過此時的舊量子論，不論在邏輯上還是對實際問題的處理上，都有不同程度的缺陷與不足。為建立一套嚴密的理論體系，必須有新的思想和新的舉措，這就是圍繞“物質粒子的波粒二象性”所產生的量子力學及至更高級的理論。 5. Schrodinger-Born 自舊量子論確立以來，不論在邏輯上還是對實際問題的處理上，它都有缺陷與不足，諸如：無法合理解釋能級的“糟糕”躍遷；無法解釋氦原子光譜；無法解釋氫原子譜線強度及其精細結構；無法說明原子是如何組成分子及構成液體和固體的；等等。但1923 年康普頓散射實驗有力證明了1917 年愛因斯坦所提出“光的波粒二象性”的正確性后，1924 年法國人德布羅意（L.Debroglie）把“光的波粒二象性”推廣到 “所有的物質粒子都具有波粒二象性”，這一創造性、革命性的思想和理論立刻被得以應用。在此基礎上，德國人海森堡（W.Heisenberg）于1925 年末創立了矩陣力學，而奧地利人薛定諤（E.Schrodinger）則另辟途徑于1927 年創立了與矩陣力學相互等價的波動力學。矩陣力學、波動力學和德國人玻恩（M.Born）對德布羅意波函數的幾率解釋及海森堡的不確定關系，一起構成了非相對論量子力學。至此，具有嶄新思想和理論的新量子論—量子力學誕生了。 在量子力學的兩種等價但不同的表述中，薛定諤波動力學通俗易懂更為人們普遍接受。在波動力學中，利用薛定諤方程 2 2 ( ) ( , ) ( , ) 2 V r r t i r t m t ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ?可得到氫原子中集三個量子數（n,l,m）于一身的原子模型的發展及量子力學的建立 第5 頁，共8 頁 電子波函數的三個本征值方程，從而可求得電子的定態波函數，按照玻恩幾率解釋和海森堡不確定關系，可將原子中各電子的定態運動用電子在空間出現幾率的所謂“云狀物”去模擬。電子出現幾率大的地方，“云” 濃密一些；幾率密度小的地方，“云”稀疏一些。這種直觀的圖像歷史上稱作原子的電子云模型，亦即 Schrodinger-Born 模型。 Schrodinger-Born 模型的提出，不僅在圖像上用新量子語言形象地描述了不同原子中電子的運動情況，而且更為主要的是解釋了氦原子，以及其他的原子、分子現象。然而，對于電子自旋問題，非相對論量子力學仍無能解決。為此，英國狄拉克（P.Dirac）于1928 年在相對論的基礎上，將薛定諤方程作了修改，建立了描述高速運動微粒的相對論量子力學，該理論中狄拉克方程采用算符的形式，嚴格地給出了由相對論效應所決定的自旋理論，從而成功地解釋了自旋等現象。 6 . Einstein-de Broglie 1925 年海森堡創立了量子力學的矩陣力學形式，1926 年薛定諤創立了量子力學的波動力學形式并證明它與海森堡的矩陣力學等價后，物理學家對量子力學理論基礎的理解，集中在對波函數Ψ的理解上。玻恩對波函數Ψ的解釋為：對應于空間的一個狀態，就有一個由伴隨這狀態的德布羅意確定的幾率|Ψ| 2 ，它是在給定時間在一定時間間隔中發出電子的幾率。而薛定諤本人對波函數的解釋為：物理客體就是波本身，粒子是波包；波動力學本征值所表示的能量、動量等物理量都是統計的量，這種統計是系統統計。1926 年，德布羅意對波函數提出了雙重解理論。他認為薛定諤方程有兩種解：一種是正常解，符合玻恩的幾率解釋；另一種是奇異解，它含有一個移動的奇點，奇點具有粒子的性質，而且正常解引導奇點的運動。隨著海森堡不確定關系和互補原理的提出和確定，1928 年，狄拉克又創立了相對論量子力學，把電子的相對論運動和自旋、磁矩自動地結合起來，很好地解決了非相對論量子力學未能解決的問題。1929 年，海森堡和泡利提出相對論量子場論，而愛因斯坦則提出統一場論。 歷史上，對量子力學的解釋一概存在持不同認識論和方*的兩大學派：一是以玻爾、海森堡、玻恩為首的量子力學統計解釋學派；另一是以愛因斯坦、德布羅意、玻姆（D.Bohm）為首的量子力學因果解釋學派。1927 年10 月和1930 年10 月，愛因斯坦和以玻爾為首的哥本哈根學派在索爾末會議上兩度對量子力學的解釋進行論戰，結果都以愛因斯坦的失敗而告終。至此，量子力學的哥本哈根統計解釋學派就成了量子力學的正統解釋。 然而在1931 年，德國馮.諾依曼（J.Von Neumann）在其《量子力學的數學基礎》一書中提出了嚴格的公理化的量子力學理論的表述形式。他認為關于量子力學解釋的核心，在于量子力學是否象經典統計理論一樣，允許存在一種隱變量。他在四條可認為是公理的假定下，證明量子力學的隱變量是不可能存在的。于是在1935 年，愛因斯坦和玻道爾斯基（B.Podolsky）及羅森（N.Rosen）著文對量子力學的理論基礎再次提出新的爭議，認為波函數所提供的關于物理實在的量子力學描述是不完備的，它被稱為EPR 爭議。之后的量子力學解釋之爭在第一次世界大戰期間進入低潮。 1948—1950 年，費曼（R.P.Feynman）依據1932 年狄拉克最初提出的思想，建立了第三種非相對論量子力學的理論形式：量子力學的路徑積分形式。同期，許溫格（J.S.Schwinger）、朝永振一郎（Tomonaga）和費曼分別完成了量子電動力學的完整理論，成功地解釋了1947 年發現的氫原子譜線的蘭姆（W.E.Lamb）原子模型的發展及量子力學的建立 第6 頁，共8 頁 位移，使量子物理學的理論達到高度完美的程度。 1952 年，玻姆追隨EPR 爭議的思想，提出了一個具體的隨變量理論，把薛定諤方程看成是在經典力學方程中再加上一項量子勢。該理論展示的是非定域性（被玻姆看作是物理實在在量子力學層次上不可約化的屬性）。在量子勢解釋中，整體并不簡單地為各部分之集合，它自身獨立組織著部分。然而玻姆的這一理論當時并未引起德布羅意的重視，倒是維日爾提出雙重解理論在某些方面與廣義相對論有相同之處這一點，引起了德布羅意的極大興趣。經過理論探索，德布羅意根據相對論性場論中粒子是作為與線性背景相融合的非線性奇點處理的思想，將粒子定義為小奇異區，并認為這個小奇異區內某一服從非線性偏微分方程的場具有極大值。在此基礎上，他又構擬了一個與廣義相對論相容的、符合愛因斯坦統一場論觀念有波粒二象性的精細結構—孤子（Soliton：是由非線性效應與色散現象的互相抵消所造成的一個不可彌散的波包），德布羅意指出，這個具有穩定性、整體性等特性的活生生的本體論細胞，將其早期對表示波粒二象性的各種企圖具體地綜合起來，至此形成了所謂Einstein-de Broglie 孤子概念。 自1844 年Scott Russel 發現并提出“孤波—不可彌散的波包”現象以來，許多著名數學家和物理學家相繼投入了非線性波動現象的研究，在數學上將具有如下性質的非線性方程的解為孤子解：①行波；②波只分布在空間的小范圍內（定域性）；③隨著時間的演變其波形不發生變化；④孤子間的相互作用為彈性碰撞，而常見的孤子方程有：KdV(Korteweg-de Vries)方程Ψ x -6ΨΨ x +Ψ xx =0；NlS(Nonlinear Schrodinge) 方程iΨ x +Ψ xx +2|Ψ| 2 Ψ=0；SG(Sine-Gordon)方程Ψ xx -Ψ u =sinΨ；Ψ 4 場方程Ψ xx -Ψ ll =-Ψ+Ψ 3 。在量子力學和量子場論中常使用上述非線性方程。 1974 年—1993 年，俄羅斯雷勃科夫（Y.P.Rybakov）在其一系列論文中給出了相應的Einstein-de Broglie 孤子模型的量子力學原理，這些文獻中說明：在點粒子的極限情況下，所有量子力學假設的孤子模型結構都可反映正確的量子力學思想，如能在實物場中建立幾率振幅，能在Hilber 空間中進行量子力學算符的不同運算等，而在其文獻 [1] 中則進一步利用孤子概念去模擬氫原子中電子的穩定，以此概念，電子可被定域于某些非線性方程的正常解去描述，并說明電子孤子中心沿某一軌道繞Coulomb 中心運行，且Poynting 矢量在各方向角的平均值具有非線性的漸進關系O(r 3 )，因而并無電磁輻射，如今，眾多理論物理學家應用 Einstein-de Broglie 孤子概念，延拓了量子力學的非線性理論模型，去模擬一些基本粒子，通過孤子解或類孤子解的行為去區分和定義基本粒子的結構和類型。 7. 縱觀原子模型的發展歷史過程，都在各階段起到了不同的作用。但就物理學發展的趨勢和要求來看，軌道模型、電子云模型和孤子模型無疑是最貼切、最常用的模型。它們都采用理論物理的量子語言去描述，而且都在理論和實踐中取得了重大的突破和成就。 參考文獻 [1] Yu.P.Rybakov&B.Saha.Soliton Model of Atom.Found.Phys.25(12).1995。 [2] 林家遜，孤子及其在物理學中的應用，物理通報，1994.4。 [3] A.Einstein.Collectoin of Scientific Works.Vo14.1967。 原子模型的發展及量子力學的建立 第7 頁，共8 頁 [4] 閻康年，關于德布羅意的生平，物理，1982.11。 [5] 楊富家著，《原子物理學》，上海科技出版社，1985。 [6] 金尚年，量子物理學各發展階段大事紀要，物理，1987.1。 [7] 曹志平，德布羅意與玻姆；量子力學因果解釋綱領比較，科學技術與辯證法，15（2）.1998。 [8] D.Bohr&B.J.Hiley.Found.Phys,Vol.12.No.10.1982. [9] 褚圣麟，《原子物理學》，高等教育出版社，1979.6。 [10] 劉連壽主編，《理論物理基礎教程》，高等教育出版社，2003.10。 原子模型的發展及量子力學的建立 第8 頁，共8 頁 Lin yuanxing (School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College,Anqing 246011) Since Thomson through electronic cathode ray found after people gradually began to study the internal structure of atoms and movement. Through continuous improvement, the amendment, a relatively complete atomic structure models. The combination of physics data from models with atomic, atomic briefly on the various models for different periods following the introduction and expression, with the aim of better understanding of quantum mechanics and modern physics and particularly the development process, deepen understanding of the atomic model micro. atomic models, probability law, Double-Theory, orphans (Soliton) model